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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
2.4.
Calcular los límites laterales indicados, analizando previamente el dominio de la función.
c) $\lim _{x \rightarrow-1^{-}}\left(\frac{x}{x+1}\right)\left(\frac{2 x+5}{x^{2}+x}\right)$ y $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{x}{x+1}\right)\left(\frac{2 x+5}{x^{2}+x}\right)$
c) $\lim _{x \rightarrow-1^{-}}\left(\frac{x}{x+1}\right)\left(\frac{2 x+5}{x^{2}+x}\right)$ y $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{x}{x+1}\right)\left(\frac{2 x+5}{x^{2}+x}\right)$
Respuesta
Primero analicemos el dominio de la función $(\frac{x}{x+1})(\frac{2 x+5}{x^{2}+x})$. Fijate que tenemos dos divisiones, tenemos que pedir que...
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$x+1 \neq 0$, es decir, $x \neq -1$
$x^{2}+x \neq 0$, es decir, $x \neq 0$ y $x \neq -1$
Por lo tanto, el dominio de nuestra función es $\mathbb{R} - \{-1,0\}$
Ahora calculemos los límites laterales indicados, pero primero un consejo: Yo acá lo primero que haría, antes de arrancar a calcular cualquier límite es expresar esta función como un único cociente; es decir, hacemos la distributiva arriba y abajo y nos queda:
$(\frac{x}{x+1})(\frac{2 x+5}{x^{2}+x}) = \frac{2x^2 + 5x}{x^3 + 2x^2 + x}$
1. $\lim _{ x \rightarrow-1^{-}}\left(\frac{2x^2 + 5x}{x^3 + 2x^2 + x}\right)$
Si reemplazamos $x$ por $-1$ en esta expresión, fijate que el numerador tiende a $-3$ y el denominador tiende a $0$. Perfecto, número sobre algo que tiende a cero, eso nos da infinito. Nos fijamos el signo del denominador: Como $x$ tiende a $-1$ por izquierda, entonces en lugar de la $x$ tendríamos algo así como $-1.000...1$. Te das cuenta entonces que la resta del denominador nos da $0$, pero un $0$ por izquierda, es decir que es negativo? Listo, entonces algo negativo sobre algo negativo, nos da positivo, y por lo tanto el resultado del límite es $+\infty$.
2. $\lim _{ x \rightarrow0^{+}}\left(\frac{2x^2 + 5x}{x^3 + 2x^2 + x}\right)$
Fijate que ahora el numerador tiende a cero y el denominador también. Tenemos una indeterminación de tipo "0/0". Como te comenté en la primera clase, estas indeterminaciones por lo general las vamos a salvar usando la Regla de L'Hopital (que todavía no la sabemos). Cuando uno todavía no puede usar L'Hopital hay varias estrategias para salvar estas indeterminaciones, yo como te prometí en la clase voy a tratar de no meterme mucho en eso, pero en este caso es muy fácil así que te la cuento. Una de las maneras es tratando de factorizar las expresiones arriba y abajo y que se me cancele algo. En este caso fijate que podemos sacar factor común arriba y abajo la $x$. Nos quedaría:
$\frac{2x^2 + 5x}{x^3 + 2x^2 + x} = \frac{x (2x+5)}{x (x^2+2x+1)} = \frac{2x+5}{x^2+2x+1}$
$\lim _{ x \rightarrow0^{+}}\left(\frac{2x+5}{x^2+2x+1}\right)$
Fijate que ahora, si reemplazamos $x$ por $0$, el numerador tiende a $5$ y el denominador tiende a $1$. Por lo tanto, el resultado de este límite es $5$.